TD 2 : Usage de la cryptographie asymétrique

François Lesueur (francois.lesueur@insa-lyon.fr, @FLesueur)

Ce TD présente et applique les notions de cryptographie asymétrique :

Génération de clés RSA
Distribution de clés
Signature et chiffrement RSA

Le cryptosystème que nous allons utiliser ici est basé sur la fonction RSA. Le cryptosystème proposé est simple et présente donc certaines vulnérabilités mais illustre le fonctionnement.

Mode d’emploi distanciel

Merci de bien lire ces explications avant de démarrer

Le TD aura lieu sur les BBB (BigBlueButton) transmis sur le canal Discord du cours. Il y aura 2 salons :

Un salon “CSC”, le général, auquel vous devez tous vous connecter en mode micro (mute, mais micro prêt à être activé) et rester tout le long de la séance, qui servira pour les annonces et discussions générales. Il sera limité à ces discussions générales, vous devez garder le son allumé pour entendre les moments d’annonce (ils ne seront pas annoncés à l’écrit, mais le canal vocal de ce BBB général sera suffisamment calme pour que vous puissiez le garder allumé tout le long sans être déconcentrés dans votre travail).
Un salon “Bureau”, audio-vidéo également, dans lequel l’enseignant sera en permanence en écoute, et qui est donc l’endroit où aller pour lui poser des questions (et, ainsi, ne pas polluer le général). Vous pouvez rejoindre ce second salon sans quitter le général.

Sur le BBB général, gardez bien le panneau de gauche ouvert et si possible visible, avec la liste des utilisateurs, et consultez-le régulièrement : c’est ici que vous recevrez les messages privés (des enseignants ou des autres étudiants, relatifs aux messages échangés comme vous le verrez dans la suite du sujet).

Lors des communications à faire avec l’enseignant ou avec d’autres étudiants (décrites dans la suite du sujet), passez bien par ces messages privés BBB afin de ne pas polluer le canal de discussion général : clic sur le nom de la personne, “Démarrer une conversation privée”.

Génération de clés RSA

Nous allons commencer par générer une paire de clés RSA pour chacun. Voici l’algorithme simplifié de génération de clés RSA (en réalité, d’autres tests doivent être réalisés) :

Choisir deux nombres premiers p et q (exemples de premiers)
Calculer n = p * q (Attention, pour que la suite du TD fonctionne, n doit être supérieur à 1000 !)
Calculer φ(n) = (p-1)(q-1)
Choisir e tel que :
- 1 < e < φ(n)
- pgcd(e, φ(n)) = 1
- Par exemple, un premier qui ne divise pas φ(n)
Déterminer l’inverse modulaire d ≡ e^-1 mod φ(n). Vous pouvez utiliser DCODE pour cela (attention, pas le pow Python pour ça, sauf si vous êtes certain d’avoir python 3.8 !)
La clé publique est (e,n) et la clé privée est (d,n)

Gardez votre clé privée secrète et transmettez votre clé publique à l’enseignant via un message privé dans BBB. Elle sera inscrite dans le registre tenu par l’enseignant et affiché par BBB (la “PKI”).

Les exemples dans la suite du sujet sont réalisés avec p=31, q=37, n=1147, φ(n)=1080, e=7, d=463. La clé publique est (e,n), ici (7,1147), et la clé privée est (d,n), ici (463,1147).

Rappel : la propriété utilisée est que pour tout message m, m^de[n] = m.

Chiffrement et déchiffrement

Description

Nous allons chiffrer des chaînes de caractères. Pour cela, chaque lettre est remplacée par son rang dans l’alphabet, sur 2 chiffres :

a	b	c	d	e	f	g	h	i	j	k	l	m	n	o	p	q	r	s	t	u	v	w	x	y	z	_
01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27

Par exemple, “crypto” devient 03 18 25 16 20 15

Ensuite, afin de ne pas retomber dans un chiffrement par substitution simple, les chiffres sont assemblés par blocs de 3 (complété éventuellement de 0 à la fin), ainsi 03 18 25 16 20 15 devient 031 825 162 015.

Enfin, chaque bloc clair de 3 chiffres est chiffré indépendamment par la fonction RSA : bloc_chiffré = bloc_clair^e[n]. Attention, (e,n) représente une clé publique, mais celle de qui ? L’utilisation de la clé (7,1147) donne le chiffré 1116 751 245 1108.

Pour calculer les exponentiations modulaires, vous pouvez utiliser python (dans l’interpréteur, tapez pow(a,b,c) pour obtenir a^b[c]) ou DCODE. Attention, lors des calculs, n’écrivez pas de ‘0’ en début d’entier. Par exemple, pour le bloc clair 031, tapez pow(31,7,1147). Commencer un entier par ‘0’ le fait interpréter comme un nombre encodé en octal (même principe qu’un nombre commençant par ‘0x’ qui est interprété comme un hexadécimal).

Le déchiffrement est opéré de manière analogue, en utilisant la clé privée au lieu de la clé publique. Chaque bloc clair est réobtenu à partir du bloc chiffré par le calcul : bloc_clair = bloc_chiffré^d[n]

Mise en pratique

Vous allez maintenant transmettre un message chiffré à un autre étudiant. Pour cette partie, contrairement aux explications en début de sujet, vous pouvez déposer ce message chiffré sur le chat du général et non en message privé : le chiffrement assure la confidentialité du message transmis.

Chiffrement de votre message : Chiffrez un message de votre choix avec le cryptosystème proposé.
Envoi de votre message : Écrivez le message chiffré dans le chat du BBB général.
Réception d’un message : À la réception d’un message, appliquez l’algorithme de déchiffrement. Quelqu’un d’autre pouvait-il obtenir le clair de ce message ?

Signature et vérification

Description

Nous allons signer des chaînes de caractères. Pour cela, chaque lettre est remplacée par son rang dans l’alphabet. Pour un message m = (m₀, …, m_i) avec (m₀, …, m_i) les rangs de chaque lettre (attention, on ne fait plus des blocs de 3 chiffres ici), le haché h(m) est calculé par l’algorithme suivant :

h = 2;
for (j=0; j<i; j++) {
	h = h * 2;
	h = h + m[j];
}
return h%1000;

La valeur de la signature vaut alors h(m)^d[n]. Attention, (d,n) représente une clé privée, mais celle de qui ? Le haché de “crypto” vaut par exemple 831 et la signature par (463,1147) est 335.

Le message est alors envoyé accompagné de sa signature. La vérification d’un message reçu m signé avec sig est opérée de la manière suivante :

Calculer h(m) par rapport au m reçu
Calculer sig^e[n]
Vérifier que h(m) == sig^e[n] sur le message reçu

Mise en pratique

Vous allez maintenant transmettre un message clair (non chiffré) signé à un autre étudiant, par message privé. La signature permet de vérifier l’intégrité du message transmis.

Signature de votre message : Signez un message de votre choix avec le cryptosystème proposé.
Envoi de votre message : Écrivez le message par message privé (attention, il faut bien envoyer le message en clair + la signature !)
Réception d’un message : À la réception d’un message, appliquez l’algorithme de vérification de la signature. Le message reçu est-il intègre ? Si non, quelle attaque avez-vous détectée ?

Attaques sur le cryptosystème proposé

Étudiez et testez quelques attaques sur le système mis en place :

Modification de message en conservant la validité de la signature
Attaque de la clé privée (par factorisation de n par exemple)

Toutes ces attaques sont possibles ici. Réfléchissez à leur cause et aux protections mises en place dans les cryptosystèmes réels. Implémentez une (ou plusieurs) attaque dans le langage de votre choix, proposez une contre-mesure et évaluez la complexité rajoutée par votre contre-mesure.

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